케이크 공평 문제

 

 

 

우리 모두 음식에는 매우 민감하죠?

 

음식을 나눌 때 동생이 나보다 더 많이 먹는다고 하면 매우 화가 나죠?

 

케이크를 똑같이 나누는 문제에 대해서 생각해볼게요.

 

두 사람이 케이크를 나눈다고 하면 어떻게 하면 될까요?

 

아주 간단합니다.

 

첫 번째 사람이 케이크를 절반으로 자르고, 선택은 두 번째 사람이 합니다.

 

첫 번째 사람은 직접 케이크를 잘랐으니 불만이 없고, 두 번째 사람은 먼저 케이크를 골랐으니 둘 다 불만이 없습니다.

 

만약에 세 명이면 어떻게 할까요?

 

세 명은 조금 더 복잡해집니다.

 

첫 번째 사람이 먼저 1/3이라고 생각되는 케이크를 고른 후 두 번째 사람에게 넘깁니다.

 

두 번째 사람은 이 케이크가 1/3보다 많다고 생각되면 잘라내고 가집니다. 적다고 생각되면 세 번째 사람에게 넘깁니다.

 

세 번째 사람은 두 번째 사람과 같은 방법을 수행합니다.

 

많다고 생각되면 잘라낸 후 가집니다. 적다고 생각되면 첫 번째 사람에게 되돌려줍니다.

 

그러면 2/3가 남게 되는데 이것은 두 사람이 나누는 문제처럼 해결하면 됩니다.

 

자, 모두 만족하는 결과일까요?

 

언뜻 보면 공평해보이지만 심리적인 문제가 남았습니다.

 

바로 질투의 감정입니다. 질투의 감정을 해소해주어야 합니다.

 

놀랍게도 케이크 분배 방식은 수학자들도 꽤 흥미 있어 하는 분야입니다.

 

1980년에 월터 스트롬퀴스트라는 수학자가 제시한 해법입니다.

 

직사각형 모양의 케이크가 있다고 하겠습니다.

 

그런 건 없다고 생각하시겠지만 그냥 있다고 해주세요.

 

심판자도 한명 필요합니다.

 

심판자는 왼쪽에서부터 칼을 들고 오른쪽으로 미끄러집니다.

 

세 명은 각자 심판자의 칼 오른편에서 중간 지점에 각자 칼을 댑니다.

 

그러다 그중 한 명이 1/3 지점이라고 생각될 때 CUT을 외칩니다.

 

그 자가 심판자 왼편의 케이크를 가져갑니다.

 

나머지 두 명은 우편에 있는 케이크에서 서로의 칼 중간 지점을 잘라 가져갑니다.

 

첫 번째 사람은 1/3이라고 생각하니까 당연히 불만이 없겠죠.

 

나머지 두 사람은 1/3이 아니라고 생각했고 남은 부분의 절반씩 나누었으니 역시 불만이 없죠.

 

하지만 이 방법은 현실에서 써 먹기 꽤 불편해 보입니다.

 

다른 방법을 찾아보죠.

 

존 셀프리지, 존 콘웨이 두 명의 수학자가 만든 방법입니다.

 

A, B, C 세 명이 있다고 하겠습니다.

 

1. A는 케이크를 공평하게 삼등분합니다.

 

2. B는 자신이 생각하는 크기의 순서를 정합니다.

 

그리고 첫 번째 케이크가 두 번째 케이크와 같아지게 조금 잘라냅니다.

 

3. C는 세 개의 케이크 조각 중에서 가장 먼저 선택을 합니다.

 

4. 이번에는 B가 선택을 합니다.

 

B는 남은 두 가지 중에서 선택을 합니다.

 

크다고 생각되는 순서를 본인이 정했으니 선택에 어려움은 없습니다.

 

5. 마지막으로 처음에 케이크를 잘랐던 A가 남은 하나를 가져갑니다.

 

세 명의 마음을 읽어볼게요.

 

A는 자신이 삼등분했으니 불만이 없습니다.

 

B는 본인이 케이크 크기 순서를 정했으니 불만이 없습니다.

 

C는 자신이 가장 먼저 선택했으니 불만이 없습니다.

 

그런데 문제가 하나 있습니다.

 

B가 잘라낸 남은 조각이 있습니다.

 

이 조각은 어떻게 해결할까요?

 

공평한 문제는 머리가 아프니 그만 생각하고 가위바위보로 해결을 합시다.

 

자세한 내용이 궁금한 사람은 <이토록 재미있는 수학이라니>라는 책을 통해 읽어보세요.